Modelos Matemáticos de Líneas de espera

lineasdeespera.tripod.com: Las colas (líneas de espera) son parte de la vida diaria. Todos esperamos en colas para comprar un boleto para el cine, hacer un depósito en el banco, pagar en el supermercado, enviar un paquete por correo, subir a un juego en la feria, etc. Nos hemos acostumbrado a esperas largas, pero todavía nos molesta cuando lo son demasiado.

 Sin embargo, tener que esperar no sólo es una molestia personal. El tiempo que la población de un país pierde en colas es un factor importante tanto en la calidad de vida como en la eficiencia de su economía.

 Incluso estas asombrosas cifras no cuentan toda la historia del impacto que causa la espera excesiva. También ocurren grandes ineficiencias debido a otros tipos de espera que no son personas en una Cola.

Por lo tanto, estos modelos de líneas de espera son muy útiles para determinar cómo operar un sistema de colas de la manera más efectiva.  Proporcionar demasiada capacidad de servicios para operar el sistema implica costos excesivos; pero al no contar con suficiente capacidad de servicio la espera aumenta con todas sus desafortunadas consecuencias. Los modelos permiten encontrar un balance adecuado entre el costo de servicio y la cantidad de espera.

 El origen de la Teoría de Colas o Líneas de Espera se remonta a los estudios realizados en 1909 por Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929), para analizar la congestión en el sistema telefónico de Copenhague.

 Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría llamada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada - partida.

La Teoría de Colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio al "servidor", el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no esta disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la "línea de espera".

El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en qué momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Las llegadas se describen por su distribución estadística. Si las llegadas ocurren con una tasa promedio y que son independientes una de otra, entonces ocurren de acuerdo con una distribución de probabilidades de tipo "Poisson”.

 Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

  Con frecuencia, las empresas  deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa.

La Teoría de Colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio al "servidor", el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no esta disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la "línea de espera".

 La distribución de poisson

Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas.

Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, etc. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativos enteros.

 La distribución exponencial

La distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo y la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson, el tiempo entre ellas es exponencial. La distribución de Poisson es discreta, mientras que la distribución exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qué ser un número entero.  Esta distribución se usa mucho para describir el tiempo entre eventos, específicamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para servir a la llegada. Un ejemplo típico puede ser el tiempo que un médico dedica a un paciente.

 Objetivos de la teoría de colas.

 Dada la función de costes anterior, los objetivos de la Teoría de Colas consisten en:

  Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

 Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la Cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

 Características

 Clientes:

Término usado en un sistema de colas para referirse a:

·          Gente esperando líneas telefónicas desocupadas.

·          Máquinas que esperan ser reparadas.

·          Aviones esperando aterrizar.

·          

Al tomar en cuenta la base de clientes, la principal preocupación es el tamaño de la población. Para problemas como los de un banco o un supermercado, en donde el número de clientes potenciales es bastante grande (cientos de miles), el tamaño de la población se considera, para fines prácticos, como si fuera infinita.

Por el contrario, en una fábrica que tiene cuatro máquinas, que a menudo se descomponen y requieren servicio de reparación en un taller especializado, es de solamente cuatro. El análisis de poblaciones finitas (es decir de tamaño limitado) es más complicado que el análisis en donde la base de población se considera infinita.

Llegadas:

Es el número de clientes que llegan a las instalaciones de servicio.

                El proceso de llegada es la forma en que los clientes llegan a solicitar un servicio. La característica más importante del proceso es el tiempo entre llegadas, que es la cantidad de tiempo entre dos llegadas sucesivas. Este lapso es importante porque mientras menor sea el intervalo de tiempo, con más frecuencia llegan los clientes, lo que aumenta la demanda de servidores disponibles.

 

Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:

 

·          Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido.

·          Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticas se describen mediante una distribución de probabilidad.

 

Tasa de Servicio:

Este término se usa para designar la capacidad de servicio, por ejemplo: 

Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas por minuto.

Una instalación de reparación puede de media, reparar máquinas a razón una cada 8 horas.

Una pista de aeropuerto en la que aterrizan dos aviones por minuto.

El proceso de servicio define cómo son atendidos los clientes. En algunos casos, puede existir más de una estación en el sistema en el cual se proporcione el servicio requerido. Los bancos y los supermercados, de nuevo, son buenos ejemplos de lo anterior. Cada ventanilla y cada registradora son estaciones que proporcionan el mismo servicio. A tales estructuras se les conoce como sistemas de colas de canal múltiple. En dichos sistemas, los servidores pueden ser idénticos, en el sentido en que proporcionan la misma clase de servicio con igual rapidez, o pueden no ser idénticos.

 

Número de servidores de servicio:

·          Es la cantidad de servidores de que disponemos: 

·          Número de conmutadores telefónicos.

·          Número de puestos de reparación.

·          Número de pistas de aterrizaje de un aeropuerto.  

·          El número de servidores no tiene porqué ser siempre en paralelo, es decir, puede que un sistema de colas tenga varias fases. 

 

Proceso de salida:

                Puede ser de los siguientes dos tipos:        

Los elementos abandonan completamente el sistema después de ser atendidos, lo que tiene como resultado un sistema de colas de un paso.

Los productos, ya que son procesados en una estación de trabajo, son trasladados a alguna otra parte para someterlos a otro tipo de proceso, lo que tiene como resultado una red de colas.

 

 Costos

Un sistema tienen costos asociados que deben de considerarse.  

Costo de Espera. Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa y esta dado por :  

 

·          Costo total de espera = CwL 

·          Cw = costo de espera por hora (en dólares) por llegada por unidad de tiempo

·          L= longitud promedio de la línea.  

·          Costo de Servicio. Este en la mayoría se trata de comprar varias instalaciones de servicio , en estos casos solo se ocupan los costos comparativos o diferenciales.  

·           

Sistema de costo mínimo. Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.

 

Tipos de colas

 

Según el tipo de sistema de colas, tenemos varios tipos de éstas, las cuales son:

 

Una línea, un servidor

El primer sistema que se muestra se llama un sistema de un servidor y una cola o puede describir una consulta de un médico. 

 

Una línea, múltiples servidores

 

El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando les llega el turno. 

Varias líneas, múltiples servidores

El tercer sistema, en que cada servidor tiene una línea separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo si hubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambio es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, la separación no sería válida.

 

Algunos modelos de líneas de espera

 

Los componentes de un modelo de colas pueden ser combinados de distintas maneras, para reflejar la gran variedad de situaciones posibles. Observemos algunas combinaciones que nos permitan identificar cualquier número 'c' o 'S' de servidores idénticos y en paralelo. 

 

M/M/S: llegadas de Poisson y distribución exponencial del tiempo de servicio

 

Probablemente ésta sea la cola más simple para analizar. Se presume que las llegadas se producen aleatoriamente desde una población infinita (un proceso de entradas de Poisson), no hay límite en la capacidad de la sala de espera y los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente. 

 

M/D/c: llegadas de Poisson y tiempo de servicio constante

Continuando con llegadas aleatorias, pero suponiendo que el tiempo de servicio es constante, o sea el mismo para cada cliente atendido. En el caso de múltiples servidores (c> 1 ) no hay fórmulas exactas para este caso, pero se puede utilizar la denominada “aproximación de Molina”. Si hay un solo servidor, las fórmulas son precisas. 

 

M/G/c: llegadas de Poisson y tiempo de servicio arbitrario

Otra vez se presumen llegadas aleatorias y una longitud de la cola infinita, pero ahora se supone que se desconoce la distribución de los tiempos de servicio más allá de su valor medio y la desviación estándar. Como en el caso anterior, sólo si hay un solo servidor aparece un resultado exacto. Para c > 1 se pueden utilizar las fórmulas de aproximación de Lee y Longton. Sin embargo, estas expresiones pueden resultar exactas para los casos especiales en que sea M/M/c y M/G/1, y resultan especialmente óptimas en situaciones de “tráfico pesado” (cuando la tasa de llegadas es tan grande como la tasa máxima de salidas).

 

En este modelo se dispone de la medida del valor medio, y las probabilidades de estado del sistema no se pueden establecer por falta de información suficiente.

 

 M/M/c/K: llegadas de Poisson, distribución exponencial del tiempo de servicio y longitud de la cola finita

Ahora se presume que el mayor número de clientes que puede haber en el sistema está limitado a un número finito K >= c, por lo que la capacidad de la sala de espera es K – c. Si se estima que la población de llegada es infinita, puede ocurrir que continúen llegando clientes cuando el sistema está lleno, con lo que esos clientes se van a retirar sin ser atendidos. Esto implica tener en cuenta algunas consideraciones respecto a los informes que se generen.

 El tiempo insumido en la cola y en el sistema, que se obtienen en todos los modelos anteriores, aquí no se puede informar, porque no está claramente definido. ¿Qué tiempo se le puede adjudicar a un cliente que nunca estuvo en el sistema? Pero por otro lado, es posible brindar una información especial para este caso, y sólo para éste: la probabilidad de no brindar el servicio. Por supuesto, esta probabilidad será cero cuando la capacidad sea ilimitada.

El análisis de costos también resulta distinto. Hay que agregar el costo de los clientes que se pierden, que resultará significativo. 

 

M/M/c/K/K: fuente de llegadas finita y distribución exponencial del tiempo de servicio

Ahora se asume que el número de clientes que llegan al servicio es una cantidad fija y finita. Por lo tanto la tasa de llegadas es una función del número existente en el sistema: cuantos más clientes estén presentes, menos van a llegar. Suponiendo que cada cliente decide de forma independiente y demandará el servicio aleatoriamente, y que el tiempo de servicio se distribuye exponencialmente, se pueden obtener todos los informes mencionados en la sección “Informes generados”. Queda establecido que la población de llegada es K >= c, de lo contrario es evidente que la cantidad de servidores es excesiva.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Comentarios

en un modelo de colas multiples hay una formula para hallar la probabilidad Po , en base a la tasa de llegada (LANDA) y la tasa de servicio (u) y con el numero de canales (k), creo ke es la distribucion acumulada de poisson??, necesito esa formula. gracias

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Muy buen resumen de la teoría de las filas de espera. Corto y concreto. Felicidades.

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Hola

 

Solo queria comentarque el material esmuy bueno y la informacion esta bien explicada, aunque un par ejemplos no estarian mal, pero bueno eso ya nos toca a nosotros no ser tan flojosjejeje

 

buen trabajo

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muy buena tu informacion, directa y sin rodeos me acabas de ahorrar un trabajo de toda la noche jojojojoj, gracias a ti voy a dormir minimo una hora mas y aparte siento que estas guapa(no va al tema pero pues ya que estamos en los cumplidos), saludos!!!!!

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